TOPOLOGIQUES (ESPACES VECTORIELS)

TOPOLOGIQUES (ESPACES VECTORIELS)

La théorie des espaces normés, développée par S. Banach et ses élèves, s’est vite révélée insuffisante pour les besoins de l’analyse fonctionnelle où interviennent de nombreux espaces vectoriels munis d’une topologie qui n’est pas déduite d’une norme. Les espaces vectoriels topologiques et leurs variantes définis dans cet article sont des généralisations des espaces normés; la convexité y joue un rôle essentiel.

1. Définition et exemples

Soit K un corps valué complet non discret, par exemple R ou C (cf. algèbre TOPOLOGIQUE). Une topologie sur un K-espace vectoriel E est dite vectorielle si les applications (x , y ) 料 x + y et (, x ) 料x de E 憐 E dans E et de K 憐 E dans E sont continues; on appelle espace vectoriel topologique sur K un K-espace vectoriel muni d’une topologie vectorielle. Un tel espace E est, pour sa loi additive, un groupe commutatif topologique, et sa topologie est donc déterminée par le filtre face=F9796 W des voisinages de l’élément neutre 0 (cf. algèbre TOPOLOGIQUE). Rappelons que ce filtre vérifie les conditions suivantes (écrites ici en notation additive):

(GV¹) Quel que soit U 捻 face=F9796 W, il existe V 捻 face=F9796 W tel que V +V 說 U;

(GV²) Quel que soit U 捻 face=F9796 W, on a 漣 U 捻 face=F9796 W.

En exprimant la continuité de l’application (, x ) 料x , on trouve les conditions suivantes, dont la première renforce (GV²):

(EV²) Quels que soient U 捻 face=F9796 W et 捻 K, on aU 捻 face=F9796 W; de plus, on a:

(EV³) Quel que soit U 捻 face=F9796 W, il existe V 捻 face=F9796 W, contenu dans U et équilibré , c’est-à-dire tel que:

Inversement, considérons un K-espace vectoriel E et un filtre face=F9796 W sur E possédant les propriétés (GV¹), (EV²) et (EV³); il existe sur E une topologie vectorielle et une seule pour laquelle face=F9796 W est le filtre des voisinages de 0.

Un espace vectoriel topologique E a une structure uniforme naturelle dont les entourages sont les ensembles:

Pour que E soit séparé, il faut et il suffit que0 soit fermé; si, de plus, le filtre face=F9796 W admet une base dénombrable, il existe une distance invariante par translation qui définit la structure uniforme de E. Les lois interne et externe de E se prolongent par continuité au complété 廬E et en font un espace vectoriel topologique sur K.

Les espaces vectoriels topologiques que l’on rencontre en analyse sont le plus souvent localement convexes , c’est-à-dire que leurs filtres face=F9796 W de voisinages de 0 vérifient la condition suivante, plus forte que (EV³):

(EV ³) Quel que soit U 捻 face=F9796 W, il existe V 捻 face=F9796 W qui est disqué et contenu dans U.

Une partie V d’un espace vectoriel E est dite disquée si, pour toute famille finie (ⁱ ), avec i 捻 I, de scalaires, on a:

on dit encore que V est un disque. Si K = R (resp. C), les disques de E sont les parties convexes (cf. CONVEXITÉ) et symétriques (resp. équilibrées), d’où le terme «localement convexe». Notons que les conditions (EV²) et (EV³) impliquent (GV¹) car, si V est disqué, on a V 念V +V, avec 捻 K, choisi tel que 0 麗 || 諒 1/2 (rappelons que K n’est pas discret). Le complété d’un espace vectoriel topologique localement convexe (en abrégé e.l.c.) est encore localement convexe; on appelle espace de Fréchet un e.l.c. métrisable et complet.

Exemples

1. Les espaces «numériques» K^m , avec la topologie produit, sont des e.l.c. complets; on démontre (par récurrence sur m ) que la seule topologie vectorielle séparée sur K^m est la topologie produit.

2. Tout espace vectoriel normé E est un e.l.c.; un système fondamental de voisinages de 0 dans E est formé des homothétiques de la boule unité :

Comme cas particuliers, on trouve l’espace 暈(X) des fonctions numériques continues sur un espace topologique compact X (avec la topologie de la convergence uniforme dans X), l’espace l ^p des suites de scalaires de puissance p -ième sommable et l’espace L^p (X, 猪) des classes de fonctions de puissance p -ième intégrable dans un espace mesuré (X, 猪), avec p 閭 1 et K = C ^{[cf. INTÉGRATION ET MESURE]}; ces espaces sont complets, c’est-à-dire que ce sont des espaces de Banach (cf. espaces vectoriels NORMÉS). Lorsque 0 麗 p 麗 1, on peut encore définir un espace vectoriel topologique L^p (X, 猪), qui est métrisable et complet, mais non localement convexe.

3. Si X est un espace topologique séparé, on fait un e.l.c. de l’espace 暈(X) des fonctions numériques continues dans X en le munissant de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de X; un système fondamental de voisinages de 0 pour cette topologie est formé des ensembles:

où C est un compact quelconque de X et où 﨎 捻 R⁺. Cet espace est complet si X est localement compact ou métrisable; il est métrisable s’il existe une suite (Cⁿ ) de compacts de X telle que tout compact de X soit contenu dans l’un des Cⁿ .

En utilisant les ensembles finis F 說 X au lieu des compacts C, on définit d’une manière analogue la topologie de la convergence simple qui est aussi vectorielle et localement convexe, mais non complète sur 暈(X) si X est infini.

4. Soit X une variété différentiable, de classe m 諒 + 秊, par exemple un ouvert de Rⁿ . Sur l’espace 劉ⁿ (X) des fonctions numériques de classe m dans X, on définit une topologie vectorielle localement convexe en prenant comme système fondamental de voisinages de 0 la famille des ensembles:

où est un ensemble fini d’opérateurs de dérivation d’ordre 諒 m , où C est un compact de X et où l’on a 﨎 礪 0. L’e.l.c. 劉ⁿ (X) ainsi obtenu est complet; il est métrisable si X est dénombrable à l’infini (ce qui est le cas pour un ouvert de Rⁿ ) et normable si X est compacte et m fini. On écrit 劉(X) pour 劉 秊(X).

5. La construction de l’exemple 4 admet plusieurs variantes; par exemple, si X est un ouvert de Rⁿ et si p 閭 1, on définit un espace de Fréchet 阮^Lp (X) dont les éléments sont les fonctions indéfiniment dérivables dans X dont toutes les dérivées sont de puissance p -ième intégrable, avec la topologie définie par le système fondamental de voisinages de 0:

où est un ensemble fini d’opérateurs de dérivation et où l’on a 﨎 礪 0, la norme dans L^p (X) étant désignée par 瑩 練 瑩^p . Citons encore l’espace 崙 des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide dans Rⁿ , qui est aussi un espace de Fréchet; ses éléments sont les fonctions indéfiniment dérivables dont toutes les dérivées décroissent à l’infini de Rⁿ plus vite que toute puissance de 1/ 瑩x 瑩, une norme étant choisie dans Rⁿ ; un système fondamental de voisinages de 0 est donné par:

où est un ensemble fini d’opérateurs de dérivation, k un entier naturel et 﨎 礪 0.

6. Soit U un ouvert de Cⁿ et 六(U) l’espace vectoriel des fonctions holomorphes dans U (cf. FONCTIONS ANALYTIQUES – Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes). La topologie de la convergence uniforme sur tout compact de U (cf. exemple 3) en fait un espace de Fréchet.

7. Soit S(X, 猪) l’espace vectoriel des classes de fonctions 猪-mesurables sur un espace mesuré (X, 猪); on le munit d’une topologie vectorielle en prenant comme système fondamental de voisinages de 0 la famille des ensembles V^A, size=1^嗀, size=1^﨎:

où A est une partie 猪-intégrable de X et où 嗀 et 﨎 sont des nombres réels 礪 0. La topologie ainsi définie est appelée celle de la convergence en mesure et elle est importante en calcul des probabilités; elle n’est pas localement convexe, mais elle fait de S(X, 猪) un espace vectoriel topologique complet.

2. Limites projectives et limites inductives

Soit (Eⁱ ), pour i 捻 I, une famille d’espaces vectoriels topologiques, E un espace vectoriel et, pour chaque i , une application linéaire f ⁱ : EEⁱ ; la moins fine des topologies sur E pour lesquelles les f ⁱ sont continues est vectorielle: on l’appelle la topologie initiale pour les f ⁱ . Si les Eⁱ sont tous localement convexes, il en est de même de E muni de la topologie initiale.

Lorsque I =0 est réduit à un élément et que f ⁰: E 說轢 E⁰ est l’injection d’un sous-espace vectoriel, la topologie initiale n’est autre que la topologie induite; elle est séparée (resp. métrisable) si celle de E⁰ l’est. Si E⁰ est complet et E fermé, E est aussi complet; l’adhérence d’un sous-espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel.

Sur le produit E = 刺Eⁱ d’une famille (Eⁱ ), pour i 捻 I, d’espaces vectoriels topologiques, la topologie initiale pour les projections prⁱ : EEⁱ est la topologie produit. Considérons plus généralement un système projectif (Eⁱ , f ^ij ) d’espaces vectoriels topologiques, avec des morphismes de transition f ^ij : EⁱE^j linéaires continus; la limite projective E = 良lim Eⁱ , c’est-à-dire le sousespace de 刺Eⁱ formé des (x ⁱ ) tels que f ^ij (x ^j ) = x ⁱ , pour tout morphisme de transition f ^ij , est munie de la topologie initiale pour les applications f ⁱ : EEⁱ induites par les projections. Lorsque les Eⁱ sont séparés (resp. complets), il en est de même de E; si les Eⁱ sont métrisables et si I est dénombrable, E est métrisable.

À tout disque V d’un espace vectoriel E on associe la semi-norme p ^V jauge de V ^{[cf. CONVEXITÉ]}, telle que:

et l’espace semi-normé E^V, qui est le sous-espace engendré par V muni de la semi-norme p ^V. Supposons E muni d’une topologie localement convexe et prenons pour V un voisinage disqué de 0; alors, en vertu de la condition (EV²), l’espace E^V est E tout entier (on dit que V est absorbant ) et, lorsque V varie, la topologie de E est initiale pour les applications EE^V égales à l’application identique. On dit que cette topologie est définie par la famille de semi-normes (p ^V)^V; les espaces E et 良lim E^V sont alors isomorphes en tant qu’espaces topologiques. Lorsque E est séparé, on en déduit qu’il est limite projective des espaces normés E.^V, en désignant par E.^V l’espace séparé associé à E^V; lorsque E est complet et que K est R ou C ou un corps «maximalement complet», on voit à l’aide du théorème de Hahn-Banach ^{[cf. CONVEXITÉ]} que E est limite projective des espaces de Banach 廬E^V.

De façon duale, on peut considérer la topologie finale sur un espace vectoriel E pour une famille d’applications linéaires f ⁱ : EⁱE définies dans des espaces vectoriels topologiques Eⁱ : c’est la plus fine des topologies vectorielles sur E rendant continues les f ⁱ ; elle n’est pas en général localement convexe, même si tous les Eⁱ le sont, et, dans ce cas, on considère plutôt la topologie localement convexe la plus fine rendant les f ⁱ continues, qui est moins fine que la précédente. En particulier, on définit ainsi l’espace vectoriel topologique (resp. l’e.l.c.) limite inductive d’un système inductif (Eⁱ , f ^ij ) d’espaces vectoriels topologiques (resp. d’e.l.c.).

Soit E¹ un espace vectoriel topologique et E⁰ un sous-espace de E¹; sur le quotient E = E¹/E⁰, la topologie vectorielle finale pour l’application canonique E¹E est la topologie quotient et les voisinages de 0 dans E sont les images des voisinages de 0 dans E¹. Si E¹ est localement convexe, il en est de même de E; pour que E soit séparé, il faut et il suffit que E⁰ soit fermé dans E¹. Si E¹ est métrisable et complet et si E⁰ est fermé, alors E est métrisable et complet (cf. algèbre TOPOLOGIQUE). Toute application linéaire continue f : EF d’un espace vectoriel topologique dans un autre admet une décomposition canonique:

l’application linéaire f 黎 est bijective mais n’est pas un homéomorphisme en général: on dit que f est stricte si f 黎 est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques. Le théorème d’homomorphisme de Banach s’énonce de la manière suivante.

Théorème. Soit E et F des espaces vectoriels topologiques métrisables et complets et f une application linéaire continue de E dans F. Si f (E) n’est pas maigre , par exemple si f est surjective (théorème de Baire; cf. La méthode de la «catégorie» dans l’article BANACH et chap. 4 d’espaces vectoriels NORMÉS), alors f est un épimorphisme strict , identifiant F à un quotient de E.

Corollaire (Théorème du graphe fermé). Soit g : FE une application linéaire d’un espace vectoriel topologique métrisable complet dans un autre. Pour que g soit continue, il faut et il suffit que, pour toute suite (y ⁿ ) convergeant vers 0 dans F et telle que (g (y ⁿ )) converge dans E, on ait lim g (y ⁿ ) = 0.

En effet, la condition signifie que le graphe 臨^g de g est un sous-espace fermé de F 憐 E, donc un espace métrisable et complet; la projection 臨^gF, qui est bijective, est donc un isomorphisme et g s’obtient en composant l’isomorphisme réciproque avec l’autre projection: 臨^gE.

Il existe diverses généralisations de ces résultats, où F est remplacé par un espace localement convexe séparé, limite inductive d’espaces de Banach, et E par un espace localement convexe souslinien (L. Schwartz-A. Martineau) ou par un espace admettant un «réseau absorbant» (M. De Wilde).

3. Bornologies

Pour comprendre de façon claire et naturelle la théorie des espaces vectoriels topologiques, il faut étudier simultanément une structure voisine, celle d’espace vectoriel bornologique, que les traités classiques laissent malheureusement de côté au prix d’un certain nombre d’obscurités et de maladresses.

Une bornologie sur un ensemble E est un ensemble face=F9796 B de parties de E vérifiant les axiomes suivants:

(B¹) Quels que soient A 捻 face=F9796 B et A 說 A, on a A 捻 face=F9796 B;

(B²) Quels que soient A¹, A² 捻 face=F9796 B, on a A¹ 聆 A² 捻 face=F9796 B;

(B³) La réunion des A, pour A 捻 face=F9796 B, est égale à E.

Un ensemble E muni d’une bornologie s’appelle un espace bornologique et les éléments de la bornologie de E s’appellent les parties bornées de E; une application f : EF d’un espace bornologique dans un autre est dite bornée si elle transforme les parties bornées de E en parties bornées de F. Le corps K est, comme tout espace métrique, muni d’une bornologie naturelle dont les éléments sont les parties de diamètre fini. Si (Eⁱ ), pour i 捻 I, est une famille d’espaces bornologiques, la bornologie produit sur E = 刺Eⁱ a pour éléments les parties dont toutes les projections sont bornées; par exemple, K 憐 K est un espace bornologique pour la bornologie produit et l’addition et la multiplication de K sont des applications bornées de K 憐 K dans K. Une bornologie face=F9796 B sur un K-espace vectoriel E est dite vectorielle si les applications (x , y ) 料 x + y et (, x ) 料 x de E 憐 E dans E et de K 憐 E dans E sont bornées. Cela équivaut aux conditions suivantes:

(EB¹) Quels que soient A¹, A² 捻 face=F9796 B, on a A¹ + A² 捻 face=F9796 B;

(EB²) Quels que soient A 捻 face=F9796 B et 捻 K, on aA 捻 face=F9796 B;

(EB³) Quel que soit A 捻 face=F9796 B, l’«enveloppe équilibrée de A», c’est-à-dire la réunion des ensemblesA, pour || 諒 1, appartient à face=F9796 B.

Un espace vectoriel muni d’une bornologie vectorielle s’appelle un espace vectoriel bornologique. Les plus fréquents des espaces vectoriels bornologiques sont de type convexe , vérifiant la condition plus forte que (EB³):

(EB ³) L’enveloppe disquée d’un borné est bornée.

Remarquons que (B²), (EB²) et (EB ³) impliquent (EB¹).

On dit qu’un espace vectoriel bornologique E est séparé si le seul sous-espace vectoriel borné de E est0.

Exemples

1. La bornologie produit sur K^m est la seule bornologie vectorielle séparée; elle est de type convexe.

2. Tout espace vectoriel normé E a une bornologie de type convexe dont les bornés sont les parties de diamètre fini, c’est-à-dire contenues dans une boule.

3. Sur un espace vectoriel quelconque E, la bornologie vectorielle la plus fine est formée des parties contenues dans un sous-espace de dimension finie et bornées dans ce sous-espace; elle est de type convexe et séparée.

4. Soit X une variété différentiable de classe m 諒 + 秊; sur l’espace 阮ⁿ (X) des fonctions numériques m fois différentiables à support compact dans X, on définit une bornologie vectorielle de type convexe, dont les éléments sont les ensembles de fonctions uniformément bornées, ainsi que toutes leurs dérivées d’ordre 諒 m et nulles en dehors d’une même compact de X.

Voici un autre exemple d’espace vectoriel bornologique de type convexe (en abrégé e.b.c.) de fonctions différentiables: l’espace des fonctions indéfiniment différentiables à croissance lente dans Rⁿ . Ses éléments sont les fonctions f indéfiniment différentiables dont toutes les dérivées ont au plus une croissance polynomiale à l’infini de Rⁿ ; les bornés sont les parties contenues dans l’un des ensembles:

où (P^D) est une famille de polynômes indexée par l’ensemble des opérateurs de dérivation D; on dit que les B^(PD) forment un système fondamental de bornés.

5. Soit U un ouvert de Kⁿ et 六(U) l’espace des fonctions analytiques dans U, c’est-à-dire localement développables en série entière convergente dans U. Si V est un polydisque de centre a et de rayon r contenu dans U et si f est une fonction analytique dans U dont le développement de Taylor en a est:

on pose:

on définit alors sur 六(U) une bornologie de type convexe en prenant comme système fondamental de bornés les ensembles:

où face=F9796 U = (Uⁱ ), pour i 捻 I, est un recouvrement de U des polydisques et où face=F9796 M = (Mⁱ ), pour i 捻 I, est une famille de constantes.

On définit sans peine les notions de bornologie initiale et de bornologie vectorielle finale pour une famille d’applications linéaires, comme au chapitre 2. On peut ainsi parler de sous-espaces et de limites projectives bornologiques, ainsi que d’espaces quotients et de limites inductives bornologiques. Considérons un e.b.c. E; sa bornologie est finale pour les injections E^AE où A décrit l’ensemble des disques bornés de E et où E^A est le sous-espace engendré par A muni de la semi-norme p ^A, jauge de A. On a un isomorphisme:

d’espaces vectoriels bornologiques; pour que E soit séparé, il faut et il suffit que chaque E^A le soit, c’est-à-dire soit un espace normé. Par exemple, la bornologie la plus fine sur un espace vectoriel E est limite inductive des bornologies séparées sur les sous-espaces de dimension finie de E.

On dit qu’un e.b.c. E est complet s’il existe un système fondamental de disques bornés A tels que E^A soit complet; cela revient à dire que E est séparé et limite inductive d’espaces de Banach. Tout e.b.c. E admet un complété 廬E qui est le «séparé associé» à:

l’application canonique de E dans 廬E n’est pas injective en général, même si E est séparé: il existe des e.b.c. séparés non nuls dont le complété est nul, comme l’a montré L. Waelbroeck. Toute limite projective et toute limite inductive séparée d’e.b.c. complets sont complètes. Les exemples donnés sont des e.b.c. complets.

On dit qu’une suite (x ⁿ ) de points d’un espace vectoriel bornologique E converge vers une limite x au sens de Mackey s’il existe une suite bornée (y ⁿ ) dans E et une suite (ⁿ ) tendant vers 0 dans K telles que x ⁿ 漣 x =ⁿ y ⁿ . Une partie X de E est dite fermée (au sens de Mackey) si toute limite (au sens de Mackey) de points de X appartient à X; pour qu’un sous-espace F de E soit fermé, il faut et il suffit que le quotient E/F soit séparé. Pour que E soit séparé, il faut et il suffit que toute suite convergente dans E ait une seule limite, ou encore que la diagonale ^E soit fermée dans E 憐 E. Lorsque E est de type convexe, la convergence au sens de Mackey dans E est équivalente à la convergence dans l’un des espaces semi-normés E^A où A est un disque borné dans E. Dans un e.b.c. complet E, toute suite de «Cauchy-Mackey» (x ⁿ ), telle que (x ^m 漣 x ⁿ ) tende vers 0 au sens de Mackey pour m , n秊, est convergente; mais cette condition n’est pas suffisante pour assurer que E est complet.

4. Espaces d’applications linéaires et produits tensoriels

Soit E et F des espaces vectoriels topologiques; on désigne par 硫(E, F) l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F, muni de la bornologie vectorielle dont les éléments sont les ensembles équicontinus d’applications linéaires: un ensemble H d’applications linéaires est équicontinu s’il l’est en 0, c’est-à-dire si, pour tout voisinage V de 0 dans F, il existe un voisinage U de 0 dans E tel que:

Lorsque E = K, l’application f 料 f (1) identifie 硫(K, F) à F et permet de munir F d’une bornologie vectorielle, la bornologie canonique ou bornologie de von Neumann; ses éléments sont les parties A de F qui sont absorbées par chaque voisinage V de 0 dans F (il existe 捻 K tel que A 說V), et on note ^b F l’espace F muni de cette bornologie. L’adhérence dans F d’un tel borné est encore bornée; pour que A 說 F soit borné, il faut et il suffit que toute partie dénombrable A soit bornée. Si U est un ouvert de 暈ⁿ , la bornologie canonique de l’espace de Fréchet 六(U) des fonctions holomorphes dans U (chap. 1, exemple 6) n’est autre que celle qu’on a définie dans l’exemple 5 du chapitre 3.

Soit maintenant E et F des espaces vectoriels bornologiques; on fait de l’espace 硫(E, F) des applications linéaires bornées de E dans F un espace vectoriel bornologique en prenant comme bornés les ensembles H équibornés d’applications linéaires, tels que, pour tout borné A de E, il existe un borné B de F, avec H(A) 說 B. On associe encore un espace vectoriel bornologique 硫(E, F) d’applications linéaires au couple d’un espace vectoriel topologique E et d’un espace vectoriel bornologique F; ses éléments sont les applications linéaires bornantes (c’est-à-dire transformant un certain voisinage de 0 dans E en un borné de F) et ses bornés sont les ensembles H équibornants (pour lesquels il existe un voisinage U de 0 dans E et un borné B de F tels que H(U) 說 B).

Considérons enfin un espace vectoriel bornologique E et un espace vectoriel topologique F. Sur Hom^K (E, F), la topologie de la convergence uniforme dans les bornés de E a comme voisinages de 0 les ensembles:

où A est un borné de E et V un voisinage de 0 dans F; ces voisinages engendrent le sous-espace 硫(E, F) des applications linéaires bornées de E dans ^b F. Sur l’espace 硫(E, F) ainsi défini, on voit que la topologie précédente est vectorielle.

À tout couple (E, F) d’espaces vectoriels munis de structures topologiques ou bornologiques nous avons ainsi associé un espace d’applications linéaires 硫(E, F) qui est bornologique, sauf dans le cas où E est bornologique et F topologique; dans ce dernier cas, 硫(E, F) est topologique. Lorsque F est de type convexe (resp. séparé, resp. complet), il en est de même de 硫(E, F). En particulier, si F est un e.l.c., ^b F est de type convexe; pour que ^b F soit séparé, il faut et il suffit que F le soit; si F est complet, il en est de même de ^b F, mais la réciproque n’est pas vraie en général (cependant elle est vraie si F est supposé métrisable ). L’espace 硫(E, F) dépend fonctoriellement de E et de F; si (Eⁱ ) est un système inductif et (F^j ) un système projectif, le morphisme canonique:

est un isomorphisme, à condition que le système (Eⁱ ) soit fini s’il s’agit d’espaces vectoriels topologiques et que les deux systèmes soient finis si les Eⁱ sont topologiques et les F^j bornologiques. Par exemple, le foncteur F^b F commute aux limites projectives; il commute aussi aux limites inductives strictes , c’est-à-dire dénombrables et dont les morphismes de transition sont des monomorphismes stricts d’images fermées.

Considérons maintenant trois espaces E, F et G, avec des structures topologiques ou bornologiques. On leur associe d’une manière analogue un espace 龍(E, F; G) d’applications bilinéaires de E 憐 F dans G, avec une structure bornologique en général. Lorsque E, F et G sont topologiques (resp. bornologiques), on prend les applications bilinéaires continues (resp. bornées), avec comme bornés les ensembles équicontinus (resp. équibornés). Dans le cas bornologique (mais pas dans le cas topologique!), on a des isomorphismes canoniques:

Considérons enfin des espaces vectoriels topologiques E et G et un espace vectoriel bornologique F; on vérifie facilement que la bijection canonique:

induit un isomorphisme d’espaces vectoriels bornologiques:

Les applications bilinéaires 﨏: E 憐 FG correspondant aux éléments de ces espaces sont caractérisées par la propriété suivante: Pour tout borné B de F et tout voisinage V de 0 dans G, il existe un voisinage U de 0 dans E tel que 﨏(U 憐 B) 說 V; on dit que ces applications bilinéaires sont hypocontinues. Par exemple, si E¹ est un espace vectoriel bornologique et si E² et E³ sont des espaces vectoriels topologiques, la composition des applications linéaires est hypocontinue de 硫(E¹, E²) 憐 硫(E², E³) dans 硫(E¹, E³); lorsque les structures topologiques et bornologiques sont réparties différemment entre E¹, E² et E³, on a une application bilinéaire bornée :

si E¹ et E³ sont tous deux topologiques (resp. bornologiques), il faut imposer à E² d’être aussi topologique (resp. bornologique). Si F est un espace vectoriel topologique et si E est un espace vectoriel soit topologique, soit bornologique, l’application bilinéaire (x , u ) 料 u (x ) de E 憐 硫(E, F) dans F est hypocontinue; lorsque E et F sont bornologiques, E 憐 硫(E, F)F est bornée.

Soit E et F des espaces vectoriels topologiques localement convexes; on note E 辰 神 F le produit tensoriel de E et F muni de la topologie localement convexe la plus fine rendant continue l’application bilinéaire canonique E 憐 FE 辰 F; la composition avec cette application induit alors un isomorphisme:

pour tout e.l.c. G. Lorsque E et F sont des espaces normés, la topologie de E 辰 神 F peut se définir au moyen de la norme :

c’est visiblement une semi-norme: on démontre que c’est une norme en utilisant le théorème de Hahn-Banach ^{[cf. CONVEXITÉ]}, ce qui impose la restriction que le corps K soit égal à R, à C ou à un corps maximalement complet; on a:

pour x 捻 E et y 捻 F. Si E et F sont séparés (resp. métrisables), il en est de même de E 辰 神 F. Le produit tensoriel 辰 神, appelé produit tensoriel projectif , commute aux limites inductives finies. Pour E et F bornologiques de type convexe, on définit encore un produit tensoriel bornologique E 辰 神 F avec la bornologie de type convexe la plus fine rendant E 憐 FE 辰 F borné; on a:

pour tout G bornologique (ou topologique) de type convexe. Si E et F sont séparés, il en est de même de E 辰 神 F; le produit 辰 神 bornologique commute aux limites inductives quelconques. Supposons maintenant E localement convexe et F bornologique de type convexe; on munit E 辰 F de la topologie localement convexe la plus fine qui rende hypocontinue E 憐 FE 辰 F, ce qui donne un e.l.c. E 辰 神 F, produit tensoriel mixte de E et F. On a, pour tout e.l.c. G, l’isomorphisme:

où 龍(E, F; G) est l’espace des applications bilinéaires hypocontinues; il se peut que E 辰 神 F ne soit pas séparé, même si E et F le sont; le produit 辰 神 mixte commute aux limites inductives quelconques.

Soit F un e.b.c.; l’application y 料 1 辰 y est une bijection de F sur K 辰 F et permet de transporter à F la topologie du produit tensoriel mixte K 辰 神 F. On définit ainsi un e.l.c. ^t F dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé par les disques de F qui absorbent tous les bornés; la topologie de ^t F s’appelle la topologie canonique associée à la bornologie de F. Pour tout e.l.c. G, on a:

en particulier, l’application identique F^bt F (resp. ^tb GG) est bornée (resp. continue) et on dit que F (resp. G) est normal si c’est un isomorphisme. On peut montrer que tout e.l.c. métrisable est normal.

Par complétion de E 辰 size=1^神 F, on obtient le produit tensoriel complété E 廬辰 神 F (topologique, bornologique ou mixte selon le cas). Par exemple, si l’on désigne par l ^1F l’espace des suites (y ⁿ ) absolument sommables de vecteurs d’un espace de Banach F, muni de la norme 瑩(y ⁿ ) 瑩 = 瑩y ⁿ 瑩, on a:

plus généralement, si (X, 猪) est un espace mesuré et F un espace de Banach, on a:

et on en déduit que, si (Y, 益) est un second espace mesuré, on a:

en utilisant le théorème de Fubini ^{[cf. INTÉGRATION ET MESURE]}.

5. Espaces disqués

Sur un espace vectoriel E, on dit qu’une topologie face=F9796 et une bornologie face=F9796 B vectorielles sont compatibles si elles satisfont les conditions suivantes:

(VB¹) Tout voisinage de 0 pour face=F9796 absorbe tout borné de face=F9796 B;

(VB²) L’adhérence (pour face=F9796 ) d’un borné de face=F9796 B est encore bornée.

On appelle espace disqué un espace vectoriel muni d’une topologie localement convexe et d’une bornologie de type convexe compatibles. Par exemple, si E est un espace localement convexe, on obtient un espace disqué E^b en le munissant de sa bornologie canonique, qui est visiblement compatible avec la topologie (cf. début du chap. 4); on obtient un autre espace disqué E^p en prenant comme bornés les parties précompactes de E (dans le cas où K est localement compact). Si E est séparé, on en fait un espace disqué E^c en prenant comme système fondamental de bornés la famille des disques compacts; une autre structure disquée E^s est définie par la bornologie vectorielle la plus fine sur E (cf. chap. 3, exemple 3).

L’espace disqué E est dit séparé si sa topologie l’est; il est dit quasi complet si tout borné fermé est complet. Par exemple, lorsque E est un e.l.c. séparé, les espaces disqués E^c et E^s sont quasi complets; si E est complet, E^b et E^p sont quasi complets et l’on a E^p = E^c , mais les réciproques sont fausses. À tout espace disqué E on associe un quasi-complété 廬E réunion des adhérences des bornés de E dans le complété 廬E (pour la topologie); notons que, si E est un e.l.c., le quasi-complété de E^b n’est plus de la forme F^b pour un e.l.c. F.

Soit E et F des espaces disqués; on note 硫(E, F) l’espace disqué dont les éléments sont les applications linéaires continues et bornées de E dans F, dont les bornés sont les ensembles à la fois équicontinus et équibornés d’applications linéaires et dont la topologie est celle de la convergence uniforme dans les bornés de E; il est facile de vérifier que la bornologie et la topologie sont compatibles. Si F est séparé (resp. quasi complet), il en est de même de 硫(E, F). Pour trois espaces disqués E, F et G, on a encore un isomorphisme canonique:

et on désigne par 龍(E, F; G) l’espace correspondant d’applications bilinéaires de E 憐 F dans G; ses éléments sont les applications bornées et hypocontinues, de façon symétrique par rapport à E et F. Par exemple, la composition des applications est une application bornée et hypocontinue:

les espaces E¹, E² et E³ étant disqués; l’application (x , u ) 料 u (x ) de E 憐 硫(E, F) dans F est bornée et hypocontinue, pour E et F disqués. Si E et F sont des e.l.c. séparés et G un espace disqué, toute application bilinéaire 﨏 de E^s 憐 F^s dans G est bornée; si 﨏 est hypocontinue, on dit qu’elle est séparément continue. Les applications bilinéaires que l’on rencontre en analyse sont généralement hypocontinues pour des structures disquées convenables, mais rarement continues.

Le théorème de Banach-Steinhaus est lié à la structure des espaces 硫(E, F) et 龍(E, F; G). Il s’énonce ainsi (cf. espaces vectoriels NORMÉS, chap. 4):

Théorème. a ) Soit E et F des espaces disqués; on suppose que la topologie de E est une topologie de Baire. Alors tout ensemble équiborné d’applications linéaires continues de E dans F est équicontinu.

b ) Soit E, F et G des espaces disqués; on suppose que E et F sont métrisables et que l’un d’eux est complet. Alors tout ensemble équihypocontinu d’applications bilinéaires de E 憐 F dans G est équicontinu.

De (a ) on déduit par exemple que, si une suite (u ⁿ ) d’applications linéaires continues de E dans F converge simplement vers une limite u , cette limite est encore linéaire continue; car l’ensembleu ⁿ est simplement borné, donc équicontinu et, par suite, son adhérenceu ⁿⁿ 聆u est encore équicontinue.

La propriété de Baire n’est pas nécessaire pour la conclusion de (a ). On dit qu’un espace disqué E est infratonnelé si, pour tout espace disqué F, toute partie équibornée de 硫(E, F) est équicontinue; il revient au même de dire que tout disque fermé de E qui absorbe les bornés est un voisinage de 0. Pour qu’un espace disqué E soit infratonnelé, il faut et il suffit que toute application linéaire bornée de E dans un espace de Banach soit continue dès que son graphe est fermé. Si E et F sont des espaces disqués métrisables dont l’un est infratonnelé, tout ensemble équihypocontinu d’applications bilinéaires de E 憐 F dans un espace G est équicontinu. Tout quotient d’un espace infratonnelé est infratonnelé; la somme et le produit d’une famille d’espaces infratonnelés sont infratonnelés. On dit qu’un espace localement convexe E est tonnelé (resp. quasi-tonnelé ) si E^s (resp. E^b ) est infratonnelé; les espaces de Fréchet sont tonnelés et les e.l.c. métrisables sont quasi-tonnelés.

Le produit tensoriel E 辰 F de deux espaces disqués est muni de la structure disquée (topologie et bornologie) la plus fine rendant bornée et hypocontinue l’application bilinéaire canonique E 憐 FE 辰 F; on le note E 辰 神 F et on a:

pour tout espace disqué G. Le produit tensoriel disqué 辰 size=1^神 commute aux limites inductives; si E et F sont séparés (resp. infratonnelés), il en est de même de E 辰 size=1^神 F. On définit ainsi différentes structures disquées sur le produit tensoriel de deux e.l.c. E et F séparés: le produit tensoriel «inductif»:

et les deux structures:

lorsque E et F sont tonnelés, les topologies sous-jacentes à ces trois structures coïncident et font de E 辰 F un e.l.c. tonnelé. Les trois topologies coïncident encore si les espaces E et F sont métrisables, l’un d’eux étant tonnelé: ces topologies sont alors identiques à celle du produit tensoriel topologique E 辰 神 F.

6. Dualité

Soit E un espace vectoriel topologique, bornologique ou disqué; son dual est, par définition, l’espace 硫(E, K) = E des formes linéaires sur E. Ainsi, le dual d’un espace vectoriel topologique (resp. bornologique, disqué) est un espace vectoriel bornologique (resp. topologique, disqué). Par exemple, on définit l’espace 劉 (X) des distributions à support compact dans une variété différentiable X, l’espace 崙 des distributions tempérées dans Rⁿ et l’espace 六 (U) des fonctionnelles analytiques dans l’ouvert U de Cⁿ comme les duaux respectifs des e.l.c. donnés dans les exemples 4, 5 et 6 du chapitre 1; l’espace 阮 (X) des distributions dans X est le dual de l’exemple 4 du chapitre 3 et l’espace 六 (U) des fonctionnelles analytiques dans U peut encore être défini comme le dual de l’exemple 5 du chapitre 3 (cf. DISTRIBUTIONS et FONCTIONS ANALYTIQUES – Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes). Si E est un e.b.c., on a:

en particulier, si F est un e.l.c. normal (cf. chap. 4), par exemple métrisable, on a E = ^b ((^b E) ). Le dual d’un e.l.c. séparé E admet diverses structures disquées, avec toujours la même bornologie, dont les bornés sont les ensembles équicontinus de formes linéaires: le dual faible E ^s = (E^s ) , muni de la topologie de la convergence simple dans E; l’espace E ^c = (E^c ) , muni de la topologie de la convergence uniforme dans les disques compacts de E; le dual fort E ^b = (E^b ) , muni de la topologie de la convergence uniforme dans les parties bornées de E. Si E est un e.l.c. normal, on a l’égalité E ^b = ((^b E) )^b ; les duaux forts d’espaces de Fréchet ont des applications importantes en analyse complexe et ont été systématiquement étudiés par A. Grothendieck.

Le bidual E = (E ) d’un espace E a une structure de même nature que celle de E et on a un morphisme de bidualité EE (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE); ce morphisme est strict. Lorsque E est un e.l.c. ou un espace disqué séparé, le morphisme de bidualité est injectif ; il résulte en effet du théorème de Hahn-Banach ^{[cf. CONVEXITÉ]} que, pour tout élément x 0 de E, il existe un x 捻 E tel que x (x ) 0 (prolonger à E une forme linéaire non nulle définie sur la droite Kx ). Il n’en est plus de même pour un e.b.c. E, car il se peut qu’on ait E = 0 même si E est séparé et non nul; pour que EE soit injectif, il faut et il suffit que E soit séparé et que sa bornologie soit compatible avec la topologie canonique associée, c’est-à-dire que l’adhérence dans ^t E d’un borné de E soit encore bornée: on dit alors que E est régulier. Tout e.b.c. séparé normal est régulier; toute limite projective et toute somme d’e.b.c. réguliers sont régulières. Si E et F sont des e.l.c. et si F est séparé, alors 硫(E, F) est régulier; il en est de même si E est un e.l.c. ou un e.b.c. et si F est un e.b.c. régulier.

On dit que E est réflexif si le morphisme de bidualité est un isomorphisme E 黎轢 E . Par exemple, soit (X, 猪) un espace mesuré et p un nombre réel 礪 1; l’espace L^p (X, 猪) des classes de fonctions de puissance p -ième intégrable (cf. chap. 1, exemple 2) est réflexif, car son dual est isomorphe à L^q (X, 猪), avec 1/p + 1/q = 1 ^{[cf. INTÉGRATION ET MESURE]}. Sur un corps ultramétrique K, les seuls espaces normés réflexifs sont les espaces de dimension finie. On dit qu’un espace localement convexe E est un espace de Schwartz si, pour toute application linéaire continue f de E dans un espace de Banach, il existe un voisinage U de 0 dans E tel que f (U) soit relativement compact; ainsi, l’espace 劉(X) de l’exemple 4 du chapitre 1, l’espace 六(U) de l’exemple 6 du chapitre 1 et l’espace 阮 (X) des distributions (cf. supra ) sont des espaces de Schwartz: cela résulte du théorème des accroissements finis et du théorème d’Ascoli; on peut montrer que les espaces de Schwartz complets sont réflexifs. Pour tout e.l.c. séparé E, les espaces disqués E^s et E^c sont réflexifs; si E est réflexif, il en est de même de E^b ; mais la réciproque n’est pas vraie en général.

La théorie de la dualité se développe à l’aide de la notion de système dual ; on appelle ainsi un triplet (E, F, u ) où E et F sont des espaces vectoriels et où u : E 憐 FK est une forme bilinéaire. Pour toute partie X de E, on appelle polaire de X l’ensemble:

de même, on définit le polaire Y⁰ 說 E d’une partie Y de F. Il est clair que X⁰ est un disque et que l’application XX⁰ est décroissante. De plus, on a:

et (X)⁰ = (1/)X⁰, pour 捻 K; enfin, pour toute famille (Xⁱ ) de parties de E, on a:

Si l’on a X 說 E et Y 說 F, pour que X⁰ absorbe Y, il faut et il suffit que Y⁰ absorbe X. Considérons un autre système dual (E¹, ¹, u ¹) et des applications linéaires f de E dans E¹ et g de ¹ dans F telles que:

pour x 捻 E et y ¹ 捻 ¹; si on a X 說 E, il vient (f (X))⁰ = g ^-1(X⁰).

Soit (E, F, u ) un système dual; on note size=1^靖E l’espace E muni de la topologie faible dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé par les polaires de parties finies de F (topologie de la convergence simple dans F). L’adhérence de 0 dans size=1^靖E est ⁰ et le dual de size=1^靖E s’identifie, au moyen de u , à F/E⁰ muni de la bornologie vectorielle la plus fine. Le bipolaire X⁰⁰ d’une partie X de E est son enveloppe disquée faiblement fermée, c’est-à-dire fermée dans size=1^靖E; ce résultat, connu sous le nom de théorème des bipolaires , se démontre à partir du théorème de Hahn-Banach. Les parties faiblement bornées de E (bornées de ^b size=1^靖E) sont exactement les parties faiblement précompactes. Appliquons cela au système dual (F , F, u ) où F est un e.l.c. et où u (x , x ) = x (x ) pour x 捻 F et x 捻 F : la topologie faible de F est celle de F ^s et ses parties équicontinues sont faiblement bornées; or les disques équicontinus sont les polaires dans le dual algébrique F des voisinages de 0 dans F, ce qui montre qu’ils sont complets pour la topologie faible, car ce sont des fermés dans F qui est complet. On démontre ainsi le théorème suivant, qui généralise le «principe de choix» de Hilbert (théorème d’Alaoglu pour les espaces normés):

Théorème. Soit F un e.l.c.; les parties équicontinues de F sont faiblement relativement compactes, c’est-à-dire d’adhérence compacte dans F ^s .

Voici un autre résultat fondamental de la théorie:

Théorème de Mackey . Soit (E, F, u ) un système dual; on suppose E et F munis de bornologies de type convexe compatibles avec les topologies faibles et telles que u soit borné et on munit E (resp. F) de la topologie dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé des polaires de bornés de F (resp. E). Si les bornés de E et de F sont précompacts pour les topologies précédentes (ce qui revient à dire que l’application u est faiblement continue sur le produit d’un borné de E par un borné de F), le dual de E s’identifie, au moyen de u , au quasi-complété de F.

Supposons maintenant F faiblement séparé (soit E⁰ = 0); on appelle topologie de Mackey sur E la topologie dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé des polaires de disques faiblement compacts de F. Il résulte du théorème de Mackey que la topologie de Mackey sur E est la plus fine des topologies pour lesquelles toute forme linéaire continue peut s’écrire x 料 u (x , y ) pour un y 捻 F.

Encyclopédie Universelle. 2012.